OS DESDOBRAMENTOS DOS TEOREMAS DE INCOMPLETUDE DE GÖDEL NA FILOSOFIA DA MATEMÁTICA

A FUNDAMENTAÇÃO DA MATEMÁTICA É UMA QUESTÃO QUE OCUPOU LÓGICOS, MATEMÁTICOS E FILÓSOFOS NO FINAL DO SÉCULO XIX E INÍCIO DO SÉCULO XX. NESSE DEBATE, A VERTENTE FORMALISTA SURGE COMO UMA ALTERNATIVA ESPECIALMENTE PROMISSORA. O FORMALISMO DE HILBERT CONFERIA AUTONOMIA À MATEMÁTICA, UMA VEZ QUE SEU PROGRAMA CONCEBIA A MATEMÁTICA COMO UM CONJUNTO DE REGRAS. A AXIOMATIZAÇÃO DE HILBERT CONFERIA CADA VEZ MAIS INDEPENDÊNCIA DA ATIVIDADE MATEMÁTICA EM RELAÇÃO ÀS INTUIÇÕES, EVIDENCIANDO SEU ASPECTO LÓGICO-DEDUTIVO. OS TEOREMAS DE INCOMPLETUDE DE GÖDEL REVELAM, ENTRETANTO, AS DIFICULDADES DE SE IMPLEMENTAR O PROJETO FORMALISTA, UMA VEZ QUE A INCOMPLETUDE DE TEORIAS ARITMÉTICAS ABRE UMA ESPÉCIE DE HIATO ENTRE AS REGRAS E AS VERDADES ARITMÉTICAS. DE MODO GERAL, OS TEOREMAS DE GÖDEL MOSTRAM QUE EM SISTEMAS FORMAIS TAIS COMO O PRINCIPIA MATHEMATICA DE RUSSELL E WHITEHEAD, SE A ARITMÉTICA É CONSISTENTE NÃO PODE SER COMPLETA, OU SEJA, EXISTEM ENUNCIADOS ARITMÉTICOS QUE NÃO PODEM SER DEMONSTRADOS NEM REFUTADOS. ISSO NOS LEVA A REFLETIR SOBRE OS PRESSUPOSTOS FILOSÓFICOS DAS CORRENTES FUNDACIONISTAS, PRINCIPALMENTE DO LOGICISMO E DO FORMALISMO. NESSE SENTIDO, NOSSO OBJETIVO AQUI FOI APRESENTAR AS PRINCIPAIS CORRENTES FUNDACIONISTAS DA FILOSOFIA DA MATEMÁTICA, OU SEJA, O LOGICISMO, O INTUICIONISMO E O FORMALISMO, CONFERINDO ÊNFASE AO PROGRAMA FORMALISTA. A PARTIR DAS CONSEQUÊNCIAS PARA O FORMALISMO HILBERTIANO POR MEIO DA APRESENTAÇÃO DOS TEOREMAS DE INCOMPLETUDE DE GÖDEL, TRAÇAMOS UM PARALELO COM OS OBJETIVOS DO PROGRAMA FUNCIONALISTA NA FILOSOFIA DA MENTE, EVIDENCIANDO ASSIM ASPECTOS RELEVANTES DA EPISTEMOLOGIA DA MATEMÁTICA.