Uma Generalização Construtiva do primeiro Teorema de Incompletude de Gödel

Neste trabalho queremos dar especial ênfase à essencial conexão entre conjuntos recursivamente enumeráveis e o “fenômeno” da incompletude em sistemas formais. Nosso objetivo é fazer a exposição de uma generalização construtiva do Primeiro Teorema da Incompletude de Gödel..O Primeiro Teorema de Gödel afirma a incompletude da aritmética elementar de 1a ordem, se esta é consistente. Já o Segundo, afirma a impossibilidade de demonstrar a consistência da aritmética elementar se esta for consistente, isto por métodos construtivos..O primeiro e o segundo teoremas de incompletude de Gödel têm sido por demais estudados desde suas demonstrações nos anos 30. Gödel e Tarski, de forma independente, passaram a usar um procedimento que viabilizou o estudo de sistemas formais por meio do estudo da aritmética. A este procedimento se dá o nome de aritmetização da matematemática. O que eles fizeram basicamente foi atribuir números naturais, como códigos, aos símbolos primitivos, às expressões e as seqüências de expressões de um sistema formal. Assim se passou a estudar sistemas formais, estudando aritmética. Ao se fazer uma generalização construtiva do Primeiro Teorema da Incompletude de Gödel, se está de fato construindo uma função numérica, portanto uma função com argumentos e valores nos números naturais.